2.2.5 - Operazioni polinomiali in NumPy¶
Notebook di accompagnamento
Per questa lezione esiste un notebook di accompagnamento, reperibile a questo indirizzo.
Come abbiamo visto nella scorsa lezione, NumPy ci offre un'ampia gamma di funzioni per il calcolo matriciale. Tuttavia, è anche possibile utilizzarlo per altri scopi, non ultimo il calcolo polinomiale, mediante il modulo numpy.polynomial. Vediamo quindi alcuni tra i principali utilizzi di questo modulo.
La classe Polynomial¶
Immaginiamo di avere due diversi polinomi, cui non associamo alcun significato fisico. I due sono espressi dalle seguenti equazioni:
NumPy ci permette di rappresentare il polinomio mediante gli oggetti di classe Polynomial. In particolare, un oggetto di questo tipo può essere istanziato a partire dai coefficienti del polinomio (ma non solo). Ad esempio, considerando i polinomi visti in precedenza, assieme ai loro coefficienti, possiamo scrivere:
>>> from numpy.polynomial import Polynomial
>>> p_1_coef = [2, 1] # lista dei coefficienti per p_1
>>> p_2_coef = [1, 3, 2] # lista dei coefficienti per p_2
>>> p_1 = Polynomial(p_1_coef[::-1])
>>> p_2 = Polynomial(p_2_coef[::-1])
Ordine dei coefficienti
La caratteristica più importante (e controintuitiva) della classe Polynomial (e di tutti i metodi di gestione dei polinomi in NumPy) è che i coefficienti vengono trattati in ordine crescente. In pratica, viene considerato innanzitutto il termine noto (ovvero il termine per \(x^0\)), poi il coefficiente di primo grado, quello di secondo, e così via. Per questo motivo, nel codice precedente viene considerata la lista dei coefficienti in ordine inverso.
Somma di polinomi¶
Per sommare due polinomi, è possibile utilizzare il metodo polyadd(), il quale accetta come parametri due vettori c1 e c2 rappresentativi dei coefficienti dei due polinomi da sommare. Ad esempio, volendo sommare due polinomi, potremo scrivere:
>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> c1 = [1, 2, 3]
>>> c2 = [2, 5, 1]
>>> poly_sum = P.polyadd(c1, c2)
Il risultato di questa operazione sarà un array numpy a valori [3, 7, 4], equivalente al polinomio \(4x^2 + 7x + 3\).
Sottrazione di polinomi¶
La sottrazione tra due polinomi è possibile mediante la funzione polysub(), il cui funzionamento è molto simile a quello di polyadd(), con l'ovvia differenza che il risultato sarà il polinomio risultante dalla differenza tra i coefficienti di c1 e c2.
Moltiplicazione di polinomi¶
Le considerazioni precedenti possono essere estese alla moltiplicazione tra polinomi mediante la funzione polymul():
Nel caso si debba moltiplicare un polinomio per una variabile indipendente \(x\), andrà utilizzata la funzione polymulx().
Divisione tra polinomi¶
La divisione tra polinomi è un'operazione leggermente più complessa delle altre, e prevede l'uso della funzione polydiv(), che restituirà stavolta due array: il primo rappresenta i coefficienti del polinomio quoziente, mentre il secondo i coefficienti del polinomio resto. Ad esempio:
Anche in questo caso, i coefficienti sono ordinati da quello a grado più basso a quello a grado più alto.
Elevazione a potenza¶
Per elevare a potenza un polinomio, possiamo usare la funzione polypow(), la quale accetta due parametri: un vettore dei coefficienti c al primo argomento, ed uno scalare pow al secondo, rappresentativo della potenza alla quale effettuare l'elevazione. Ad esempio:
Valore assunto da un polinomio¶
Il valore \(y\) assunto da un polinomio \(p\) ad un certo valore di \(x\) può essere determinato mediante la funzione polyval(), che accetta come argomento un intero (o una lista di interi) x ed un polinomio p. Ad esempio, volendo valutare il valore assunto da \(y\) per \(x \in [1, 2]\) sulla retta rappresentata dal polinomio c1:
Coefficienti e polinomio
E' molto importante notare come non stiamo usando un oggetto di classe Polynomial, ma i coefficienti dello stesso, estraibili accedendo alla proprietà coef.
Operazioni a dimensionalità 2 e 3
Nel caso occorra valutare i polinomi nei casi a due e tre dimensioni, NumPy ci mette a disposizione le funzioni polyval2d() e polyval3d().
Derivata ed integrale di funzioni polinomiali¶
Concludiamo questa breve carrellata con due metodi in grado di calcolare, rispettivamente, la derivata e l'integrale di una funzione polinomiale.
La funzione numpy.polyder(), infatti, permette di calcolare la derivata di ordine m (passato come secondo argomento, di default pari ad 1) dei coefficienti del polinomio p (passati come primo argomento). Ad esempio, per calcolare la derivata di c1:
Il metodo duale è numpy.polyint(), che (prevedibilmente) calcola l'integrale di ordine m dei coefficienti del polinomio p: